Question

在計算機的算法語言中有一種函數[x]叫做取整函數（也稱高斯函數），它表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數．例如：[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3．設函數f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，則函數y=[f（x）]+[f（-x）]的值域為

 

．

Answer 1

分析：由題意知，f（x）是定義域R上的奇函數，且值域是（-

1

2

，

1

2

）；∴f（-x）的值域也是（-

1

2

，

1

2

）；
分x=0，x＞0，x＜0時討論函數y的值即可．

解答：解：由題意，f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

；f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x

＜ 1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
即-

1

2

＜f（-x）＜

1

2

．所以，-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
當x=0時，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
當x≠0時，若x＞0，則0＜f（x）＜

1

2

，-

1

2

＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，則y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函數y的值域為{0，-1}．
故答案為：{0，-1}

點評：本題用求值域來考查指數函數的性質，函數的奇偶性，函數取整問題，應該是有難度的小題．