Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=

n2+3n

2

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=bn=

an(n為奇數) 2n(n為偶數)

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）某學生利用第（2）題中的T_n設計了一個程序框圖如圖所示，但數學老師判斷這個程序是一個“死循環”（即程序會永遠循環下去，而無法結束）．你是否同意老師的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，檢驗n=1時，是否也滿足n≥2時，a_n=S_n-S_n-1得到的式子，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）根據已知求出數列{b_n}的通項公式，利用分組求和法，可得數列{b_n}的前n項和為T_n；
（3）根據（2）中前n項和為T_n的表達式，判斷循環條件：T_n-P=2009是否會成立，可得答案．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，
當n=1時，有a₁=1+1=2滿足題意，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）當n為偶數時T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

a1+an-1

2

•

n

2

+

4(1-2n)

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1）．
當n為奇數時，n+1為偶數，
則T_n+1=

(n+1)2+2(n+1)

4

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-1）
=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-1），
而T_n+1=T_n+b_n+1=T_n+2ⁿ⁺¹，
∴T_n=

n2+4n+3

4

+

1

3

•2ⁿ⁺¹-

4

3

．
（3）由程序框圖知，P=

n2

4

+24n．
設數列{d_n}的通項公式為d_n=T_n-P（n∈N^*），
當n為奇數時，d_n=

1

3

•2ⁿ⁺¹-23n-

7

12

，令d_n+2-d_n=2ⁿ⁺¹-46＞0，則n≥5，
∴從第5項開始數列{d_n}中的奇數項遞增，而d₁，d₃，…，d₁₁均小于2 009且d₁₃＞2 009，
∴d_n≠2 009．當n為偶數時，d_n=

2

3

•2ⁿ⁺¹-

47

2

n-

4

3

，令d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47＞0，則n≥4，
∴從第4項開始數列{d_n}中的偶數項遞增，而d₂，d₄，…，d₁₀均小于2 009且d₁₂＞2 009，
∴d_n≠2 009（n∈N^*）．故d_n≠2 009，即T_n-P≠2 009（n∈N^*），
即程序為死循環，所以老師的判斷是正確的．

點評：本題考查的知識點是數列求和，程序框圖，其中（1）中數列的通項公式是（2）中數列求和的基礎，（2）中數列求和又是判斷循環條件的基礎．