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已知f(x)=2+x2 cos(

+x)在[-a，a]（a＞0）上的最大值與最小值分別為M、m，則M+m的值為

．

分析：構造函數(shù)h（x）；利用奇函數(shù)的定義判斷出h（x）為奇函數(shù)；據(jù)奇函數(shù)關于原點對稱，其最大值、最小值相反，
求出M+m的值．

解答：解：f(x)=2+x2 cos(

+x)=2-x²sinx
令h（x）=x²sinx
2-M≤h（x）≤2-m
∵h（-x）=-h（x）
∴h（x）為奇函數(shù)
∴2-M+2-m=0
∴M+m=4
故答案為4

點評：本題考查奇函數(shù)的定義、考查奇函數(shù)的圖象關于原點對稱、考查奇函數(shù)的最值相反．

練習冊系列答案

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鹽城一模）已知f(x)=(2+

)n，其中n∈N^*．
（1）若展開式中含x³項的系數(shù)為14，求n的值；
（2）當x=3時，求證：f（x）必可表示成

s-1

（s∈N^*）的形式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知f(

+1)=x+2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=

2-x，(x≤0)

x2，(x＞0)

，若f（x）=1，則x的值是（　　）

A．0

B．±1

C．0或±1

D．0或1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且對任意正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數(shù)∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

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