Question

已知向量

m

=（cosθ，sinθ）和

n

=（

2

-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π）且|

m

+

n

|=

8 2

5

，則cos(

θ

2

+

π

8

)=

-

4

5

．

Answer 1

分析：先利用向量條件得到cos(θ+

π

4

)，然后利用倍角公式求則cos(

θ

2

+

π

8

)的值．

解答：解：因為向量

m

=（cosθ，sinθ）和

n

=（

2

-sinθ，cosθ），
因為

m

+

n

=(

2

+cosθ-sinθ，sinθ+cosθ)，
所以|

m

+

n

|=

( 2 +cosθ-sinθ)2+(sinθ+cosθ)2

=

4+4cos(θ+ π 4 )

=

8cos2( θ 2 + π 8 )

=2

2

|cos(

θ

2

+

π

8

)|=

8 2

5

，即|cos(

θ

2

+

π

8

)|=

4

5

．
因為θ∈（π，2π），所以

5π

8

＜

θ

2

+

π

8

＜

7π

8

，
所以cos(

θ

2

+

π

8

)=-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點評：本題主要考查三角函數的倍角公式，利用向量關系先將條件化簡是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大．