Question

已知向量

m

=（cosθ，sinθ）和

n

=（

2

-sinθ，cosθ），θ∈[π，2π]．
（1）求|

m

+

n

|的最大值；
（2）當|

m

+

n

|=

8 2

5

時，求cos（

θ

2

+

π

8

）的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的三角形法則求出

m

與

n

的和，然后求出

m

+

n

的模，化簡后利用特殊角的三角函數值及兩角和的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，根據根據θ的范圍得到余弦函數的值域，即可得到|

m

+

n

|的最大值；
（2）由|

m

+

n

|=

8 2

5

及第一問求得的關系式得到cos（θ+

π

4

）的值，然后根據θ的范圍求出

θ

2

+

π

8

的范圍，利用二倍角的余弦函數公式即可求出cos（

θ

2

+

π

8

）的值．

解答：解：（1）

m

+

n

=（cosθ-sinθ+

2

，cosθ+sinθ），
|

m

+

n

|=

(cosθ-sinθ+ 2 )2+(cosθ+sinθ)2

=

4+2 2 (cosθ-sinθ)

=

4+4cos(θ+ π 4 )

=2

1+cos(θ+ π 4 )

∵θ∈[π，2π]，
∴

5π

4

≤θ+

π

4

≤

9π

4

，
∴cos（θ+

π

4

）≤1，|

m

+

n

|_max=2

2

．

（2）由已知及（1）得|

m

+

n

|=

8 2

5

=2

1+cos(θ+ π 4 )

，
兩邊平方化簡得cos（θ+

π

4

）=

7

25

．
又cos（θ+

π

4

）=2cos²（

θ

2

+

π

8

）-1，
∴cos²（

θ

2

+

π

8

）=

16

25

，
∵θ∈[π，2π]，
∴

5π

8

≤

θ

2

+

π

8

≤

9π

8

，
∴cos（

θ

2

+

π

8

）=-

4

5

．

點評：此題考查學生掌握向量的加法法則及向量模的求法，靈活運用兩角和與差的余弦函數公式、二倍角的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．學生做題時應注意角的范圍．