Question

已知拋物線C:y²=2ax(a<0),過點(-1,0)作直線l交拋物線C于A、B兩點.問是否存在以AB為直徑且過拋物線C的焦點F的圓?

Answer 1

解析:設直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0),代入拋物線方程得

k²x²+(2k²-2a)x+k²=0.①?

若存在以AB為直徑且過焦點F的圓,則AF⊥BF.

設A、B的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),?

則,

即k²(x₁+1)(x₂+1)+(x₁-)(x₂-)=0,②

由方程①有x₁+x₂=,x₁x₂=1.

代入②并整理得?

k²=.

∵k²>0,a<0,?

∴>0,a<0,?

即a²+12a+4>0且a<0.

解得a<-6-4或-6+4

又當k不存在時,即直線l⊥x軸,

此時直線l:x=-1.

可得A(-1,)、B(-1, ).

由k _AF·k _BF=-1得a=-6±4.

故當a≤-6-42或-6+42≤a<0時,存在滿足題設的圓.

當-6-4＜a＜-6+42時,不存在這樣的圓.