Question

【題目】已知函數.

（1）①求證：當任意取值時，的圖像始終經過一個定點，并求出該定點坐標；

②若的圖像在該定點處取得極值，求的值；

（2）求證：當時，函數有唯一零點.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，定點的坐標為；②（2）見解析

【解析】

（1）①由可得，所以的圖象始終經過一個定點；②對函數求導，利用函數在此定點處有極值，導函數值等于零列方程求解即可；

（2）可知已經有零點1，只需要證明函數再無其它零點即可，當時，，在時無零點；當，且時，，所以，在時也無零點.

（1）①由可得，，

所以的圖像始終經過一個定點的坐標為；

②因為，

因為的圖像在該定點處取得極值，所以，所以，

當時，，滿足：在左右側異號，

所以符合題意；

（2）因為，所以已經有一個零點1，

下面只需要證明函數在無其它零點了.

因為且時，，

所以在時無零點，

因為，

當，且時，，所以，

所以在時遞增，所以當時，

所以在時也無零點，

所以時，有唯一零點1.