Question

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的最大距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可得出拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合求得的值，可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出點(diǎn)到直線的最大距離.

（1）易知點(diǎn)，又，所以點(diǎn)，則直線的方程為.

聯(lián)立，解得或，所以.

故拋物線的方程為；

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立有，

設(shè)點(diǎn)，，則，所以.

所以，解得.

所以直線的方程為，恒過點(diǎn).

又點(diǎn)，故當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的最大距離為.