Question

【題目】已知橢圓 上兩個不同的點A，B關于直線y=mx+ 對稱．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，可設直線AB的方程為x=﹣my+n，代入橢圓方程 ，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2）．由題意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，

設線段AB的中點P（x0，y0），則 ．x0=﹣m× +n= ，

由于點P在直線y=mx+ 上，∴ = + ，

∴ ，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，

解得m2 ，∴ 或m

（2）解：直線AB與x軸交點橫坐標為n，

∴S△OAB= = |n| = ，

由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2） = ，

∴S△AOB = ，當且僅當n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵ ，解得m= ，

當且僅當m= 時，S△AOB取得最大值為

【解析】（1）由題意，可設直線AB的方程為x=﹣my+n，代入橢圓方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．可得△＞0，設線段AB的中點P（x0 ， y0），利用中點坐標公式及其根與系數的可得P，代入直線y=mx+ ，可得 ，代入△＞0，即可解出．（2）直線AB與x軸交點橫坐標為n，可得S△OAB= ，再利用均值不等式即可得出．