Question

【題目】【2018安徽淮南市高三一模（2月）】已知函數．

（I）若，討論函數的單調性；

（II）曲線與直線交于， 兩點，其中，若直線斜率為，求證： ．

Answer 1

【答案】（I）答案見解析；（II）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）問題等價于，令，則，問題轉化為只需證，根據函數的單調性證明即可．

試題解析：

(1) ， ，

當時，恒有， 在區間上是增函數，

當時，令，即，解得；令，即，解得， 在區間上是增函數，在區間上是減函數.

綜上，當時， 在區間上是增函數；

當時， 在區間上是增函數，在區間上是減函數.

(2)證明： ，要證明，

即證，等價于，令 (由，知)，

則只需證，由知，故等價于 (*)

①令，則，所以在上是增函數，

當時， ，所以；

②令，則，所以在內是增函數，

當時， ，所以，

綜上， .