Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點F與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點M，．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）斜率為1的直線l與橢圓相交于B，D兩點，若以線段BD為直徑的圓恰好過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1)．(2) y＝x或y＝x．

【解析】

（1）根據離心率得到a2＝2 c2，根據得到，計算得到答案.

（2）設 l 的方程為：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），聯立方程，利用韋達定理得到x1+x2，x1 x2，代入計算得到答案.

（1）∵橢圓的離心率為，∴e，即a2＝2c2①，

∵過右焦點F與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點M，．

∴M（c，）再代入橢圓方程得，②，又a2＝b2+c2③，

聯立①②③得，b2＝c2＝1，a2＝2，∴橢圓方程：．

（2）設 l 的方程為：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），

聯立，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，

x1+x2，x1 x2，y1+y2，y1 y2，

∵以線段BD為直徑的圓恰好過坐標原點，

∴0，

∴m．

∴直線l方程為 y＝x或y＝x．