Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．

現以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面；

（3）求點到平面的距離.

  

圖                                    圖

 

Answer 1

【答案】

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）利用線線垂直證明線面垂直；（3）利用等體積法求解點到面平面的距離

【解析】

試題分析：

解：（1）證明：取中點，連結．

在△中，分別為的中點， 所以∥，且．

由已知∥，， 所以∥，且．           3分

所以四邊形為平行四邊形． 所以∥．                4分

又因為平面，且平面，所以∥平面．         5分

（2）證明：在正方形中，．

又因為平面平面，且平面平面，

所以平面．  所以．               7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．所以．    8分

所以平面．                                        10分

（3）解法一：由（2）知，平面

又因為平面， 所以平面平面．            11分

過點作的垂線交于點，則平面

所以點到平面的距離等于線段的長度                12分   

在直角三角形中，

所以

所以點到平面的距離等于.                          14分

解法二：由（2）知，

所以

                      12分

又，設點到平面的距離為

則， 所以

所以點到平面的距離等于.                          14分

考點：本題考查了空間中的線面關系

點評：立體幾何問題主要是探求和證明空間幾何體中的平行和垂直關系以及空間角、體積等計算問題．對于平行和垂直問題的證明或探求，其關鍵是把線線、線面、面面之間的關系進行靈活的轉化．在尋找解題思路時，不妨采用分析法，從要求證的結論逐步逆推到已知條件．