Question

如圖1，在直角梯形中，，，，. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．

(1)求證：平面平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）正弦值為；（3）存在，點E即為所求.

【解析】

試題分析：本題以三棱錐為幾何背景考查面面平行和二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，首先由點的正投影在上得平面，利用線面垂直的性質，得，在原直角梯形中，利用已知的邊和角，得到，，所以得到為等邊三角形，從而知是的中點，所以可得，，

利用面面平行的判定得出證明；第二問，先建立空間直角坐標系，寫出所需點的坐標，先設出平面的法向量，利用求出，利用夾角公式求直線和法向量所在直線的夾角；第三問，由已知和前2問過程中得到的數據，可以看出，所以點即為所求.

試題解析：（I）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上，

所以平面，所以，                  1分

因為在直角梯形中，，，，，

所以，，所以是等邊三角形，

所以是中點，                     2分

所以，                      3分

同理可證，

又，

所以平面平面.                          5分

（II）在平面內過作的垂線 如圖建立空間直角坐標系，則，，，      6分

因為，，

設平面的法向量為 ，

因為，，

所以有，即，

令則  所以 ，                8分

，                   10分

所以直線與平面所成角的正弦值為 .               11分

(III)存在，事實上記點為即可                      12分

因為在直角三角形中，，   13分

在直角三角形中，點，

所以點到四個點的距離相等.                   14分

考點：1.線面垂直的判定；2.中位線的性質；3.面面平行的判定；4.線面角的求法；5.夾角公式；6.向量法.