Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C₁：的離心率為，直線l: y-＝x＋2與.以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．

（1）求橢圓C₁的方程；

（ll）設(shè)橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₂過點F價且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（III）過橢圓C₁的左頂點A作直線m，與圓O相交于兩點R，S，若△ORS是鈍角三角形，     求直線m的斜率k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由              ………………2分

由直線

所以橢圓的方程是                      …………………4分

（Ⅱ）由條件，知|MF₂|=|MP|。即動點M到定點F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是。     …………8分

（Ⅲ）由（1），得圓O的方程是

設(shè)

得 

則                 ……………9分

由     ①…………10分

因為

所以                                          ②……12分

由A、R、S三點不共線，知。                       ③

由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是……13分

考點：本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：求解圓錐曲線的方程關(guān)鍵是求解a和b，可應(yīng)用已知條件得到關(guān)于兩個參量的方程或由性質(zhì)直接求得；向量在圓錐曲線問題中往往只起到一個工具的作用，即為解題提供方程或函數(shù).求解解析幾何問題也要注重對數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.