Question

（1）已知-1≤x≤2，且x≠0，求lg|x|+lg|7-x|的最大值．
（2）已知x∈R，求函數(shù)y=3（4^x+4^-x）-10（2^x+2^-x）的最小值．
（3）已知2^x≤256且log2x≥

1

2

，求函數(shù)f(x)=log2

x

2

•log

2

x

2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）將lg|x|+lg|7-x|化為lg|7x-x²|，通過求7x-x^{2_{的取值范圍解決．
（2）令}}t=（2^x+2^-x）進(jìn)行換元．轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決．
（3）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，，f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=log₂²x-3log₂x+2，令t=log₂x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決．

解答：解：（1）lg|x|+lg|7-x|=lg|7x-x²|．∵-1≤x≤2∴7x-x²∈[-8，10]，|7x-x²|∈[0，10]∴最大值為1（此時x=2）
（2）令t=（2^x+2^-x）（t≥2），則y=3t²-10t-6（t≥2），∴y≥-14（此時x=1）
（3）由已知，

2

≤x≤8，

1

2

≤log2x≤3，f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=log₂²x-3log₂x+2，令t=log₂x
則y=t²-3t+2，函數(shù)f（x）的最小值為-

1

4

（此時x=8），最大值為2（此時x=

2

）

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算，二次函數(shù)性質(zhì)、換元法，考查分析解決問題、計算能力．