Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為 ，右焦點為F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相切于點P（不為橢圓C的左、右頂點），直線l與直線x=2交于點A，直線l與直線x=﹣2交于點B，請問∠AFB是否為定值？若不是，請說明理由；若是，請證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：2a=4，即a=2，e= = ，

∴c= ，

b= =1，

∴橢圓方程為： ，

（2）解：證明：當l的斜率為0時，∠AFB為直角，則∠AFB為定值，為 ，

當斜率不為0時，設切點為P（x0，y0），則l： ，

∴A（2， ），B（﹣2， ），

∴kAFkBF= = =﹣1，

∴∠AFB為定值

【解析】（1）由2a=4，離心率e= = ，b= 即可求得a和b，即可求得橢圓C的方程；（2）l的斜率為0時，∠AFB為直角，則∠AFB為定值 ，當斜率不為0時，將切點代入橢圓方程，求得交點坐標，求得AF和BF的斜率kAF及kBF ， 即可求得kAFkBF=﹣1，即可求得∠AFB為定值 ．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．