Question

【題目】函數，其中，，為實常數

（1）若時，討論函數的單調性；

（2）若時，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若，當時，證明：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) (3)見證明

【解析】

（1）代入t的值，求得導函數，對a進行分類討論，根據導數的正負確定單調區間即可．

（2）代入t的值，根據不等式分離參數，通過構造函數，再求，根據其單調性求得最大值即可得a的取值范圍．

（3）要證明不等式成立，根據分析法得到只需證明成立即可．通過構造函數，利用導數研究其單調性與最值，根據最小值即可得證．

解（1）定義域為， ，

當時，， ，

在定義域上單調遞增；

當時，時，，單調遞增；

當時，．單調遞減；

綜上可知：當時，的增區間為，無減區間；

當時，增區間為，減區間為；

（2） 對任意恒成立.

即等價于，，

令.

，，

在上單調遞增，

，

.故的取值范圍為.

（3）要證明，即證明，只要證，

即證，只要證明即可，

令，在上是單調遞增，，

在有唯一實根設為，

且，

當時，單調遞減

當時，，單調遞增

從而當時，取得最小值，由得：

，即，

，

故當時，證得：.