Question

已知定義在R上的函數f（x）對任意的實數x₁，x₂滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，數列{a_n}滿足a₁=0，且對任意n∈N^*，a_n=f（n），則f（2010）=（　　）

A．4012

B．4018

C．2009

D．2010

Answer 1

分析：分別令n=1，2，3，4，求出a₁，a₂，a₃，a₄，總結規律得到{a_n}是首項為0，公差為2的等差數列，由此能求出f（2010）=a₂₀₁₀的值．

解答：解：a₁=0，
a₂=f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
a₃=f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
a₄=f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴{a_n}是首項為0，公差為2的等差數列．
∴a_n=2n-2．
用數學歸納法證明如下：
（1）當n=1時，a₁=2×1-2=0，結論成立．
（2）假設n=k時，結論成立，即a_k=2k-2，
則當n=k+1時，a_k+1=f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k-2+2=2k，
結論也成立，
由（1）、（2）知，a_n=2n-2．
∴a₂₀₁₀=f（2010）=2×2010-2=4018．
故選B．

點評：本題考查數列的遞推公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意總結規律．