Question

一項“過關游戲”規則規定：在第n關要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現的點數之和大于2ⁿ，則算過關（假設骰子是均勻的正方體）．問：
（1）某人在這項游戲中最多能過幾關？
（2）他連過前兩關的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）因為骰子出現的點數最大為6，若每次均擲6點，6×4＞2⁴，6×5＜2⁵，所以當n≥5時，n次出現的點數之和大于
2ⁿ已不可能，所以，最多只能連過4關．
（2）若連過前兩關，則第一關擲一次，所擲點數需在2點以上，第二關擲兩次所擲點數之和需在4點以上，分別把每種情況的概率求出，再相乘即可．

解答：解：（1）由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數出現的可能性是相同的，．
因骰子出現的點數最大為6，而6×4＞2⁴，6×5＜2⁵，因此，當n≥5時，n次出現的點數之和大于2ⁿ已不可能．故這是一個不可能事件，最終過關的概率為0．所以，最多只能連過4關．
（2）設事件A_n為“第n關過關失敗”，則對立事件

.

An

為“第n關過關成功”．
第n關游戲中，基本事件總數為6ⁿ個．
第1關：事件A₁所包含基本事件數為2（即出現點數為1和2這兩種情況）．所以，過此關的概率為P(

.

A1

)=1-P(A1)=1-

2

6

=

2

3

第2關：事件A₂所包含基本事件數為C₁¹+C₂¹+C₃¹=6，所以，過此關的概率為P(

.

A2

)=1-P(A2)=1-

6

62

=

5

6

故連過前兩關的概率是P(

.

A1

)•P(

.

A2

)=

5

9

．

點評：本題主要考察了互斥事件的概率求法，屬于概率的基本題型．