Question

設直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=3交于P點．
（1）當直線l過P點，且與直線l₀：2x+y=0平行時，求直線l的方程．
（2）當直線l過P點，且原點O到直線l的距離為1時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：先求出兩直線的交點p的坐標
（1）先求與直線2x+y=0平行的直線的斜率，再根據其過點（1，2），用點斜式求直線方程．
（2）考慮兩種情況：（1）斜率不存在即所求直線與y軸平行時，容易直線的方程；（2）斜率存在時，設出直線的斜截式，然后利用點到直線的距離公式列出原點到直線l的距離的方程，求出斜率k即可得到方程．

解答：解：直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=3交點p（1，2）
（1）∵直線2x+y=0的斜率k=-2，
∴所求直線斜率k′=-2．
故過點（1，2）且與已知直線平行的直線為y-2=-2（x-1），
即2x+y-4=0．
（2）解：當過點A（1，2）的直線與x軸垂直時，
則點A（1，2）到原點的距離為1，所以x=1為所求直線方程．
當過點A（1，2）且與x軸不垂直時，可設所求直線方程為y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由題意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得 k=

3

4

，
故所求的直線方程為 y-2=

3

4

(x-1)，即3x-4y+5=0．
綜上，所求直線方程為x=1或3x-4y+5=0．

點評：本題考查直線的平行關系，直線的點斜式方程，（2）問學生做題時容易少一種斜率不存在的情況，要求學生考慮問題要全面．應用分類討論的數學思想解決數學問題．是基礎題．