Question

設直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=3交于P點．
（1）當直線m過P點，且與直線l₀：x-2y=0垂直時，求直線m的方程；
（2）當直線m過P點，且坐標原點O到直線m的距離為1時，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）根據斜率存在的直線相互垂直的充要條件k₁k₂=-1即可求出；
（2）先分斜率存在和不存在兩種情況討論，再利用點到直線的距離公式即可求出．

解答：解：由

y=2x x+y=3

，解得點P（1，2）．
（1）由直線l₀：x-2y=0可知：kl0=

1

2

．
∵m⊥l₀，∴直線m的斜率km=-

1

kl0

=-

1

1 2

=-2，
又直線m過點P（1，2），
故直線m的方程為：y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0．
（2）因為直線m過點P（1，2），
①當直線m的斜率存在時，可設直線m的方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0．
由坐標原點O到直線m的距離d=

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
因此直線m的方程為：

3

4

x-y-

3

4

+2=0，即3x-4y+5=0．
②當直線m的斜率不存在時，直線m的方程為x=1，驗證可知符合題意．
綜上所述，所求直線m的方程為x=1或3x-4y+5=0．

點評：熟練掌握直線的位置關系與斜率的關系是解題的關鍵．