Question

已知曲線c上任意一點P到點F（2，0）的距離等于到l：x=-2的距離，設直線l₁：y=2x+m與曲線c交于A、B兩點，且|AB|=2

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，
（Ⅰ） 求曲線c的方程．
（Ⅱ） 求直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（I）由拋物線的定義可知，曲線c是以F（2，0）為焦點，l：x=-2為準線的拋物線，求出P，可得拋物線方程；
（II）將直線方程代入拋物線方程，結合韋達定理求出弦AB的長，確定m的值，可求真相方程．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線的定義可知，曲線c是以F（2，0）為焦點，l：x=-2為準線的拋物線，∴P=4，
因此曲線c的方程是y²=8x                                        
（Ⅱ）將y=2x+m代入y²=8x 得4x²+（4m-8）x+m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△=（4m-8）²-16m²＞0⇒4-4m＞0⇒m＜1，
且x₁+x₂=

8-4m

4

=2-m，x₁x₂=

m2

4

，
由|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

×

(x1+x2)2-4x1x2

=2

5

×

1-m

=2

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，
解得m=-2滿足m＜1，
所求直線方程是2x-y-2=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查拋物線的標準方程，考查學生的運算能力．解答本題的關鍵是利用韋達定理求|AB|，求得m一定要驗證滿足條件△＞0．