Question

已知兩個正數a、b．則

a+b

2

≤

a2+b2 2

．三個正數a、b、c，則

a+b+c

3

≤

a2+b2+c2 3

；…類比寫出n個正數的關系式并加以證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在兩個正數的不等式推理n個正數的關系式時，我們一般的思路有：由兩個數算術平均數類比推理為n個正數算術平均數，由兩個數平方的平均數類比推理為n個正數數平方的平均數，由算術平均數類比推理為幾何平均數等，故我們可以類比上述性質，得到

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

，最后利用數學歸納法證明．

解答：解：對于兩個正數a、b．則

a+b

2

≤

a2+b2 2

．
左式是兩個正數的算術平均數，右式是兩個數平方的平均數的平方根，
對于三個正數a、b有類似的不等式，
在類比寫出n個正數的關系式時，有：
對于n個正數a₁、a₂，…a_n．則

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

．
欲證：

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

．
只須證明：（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）
證：①當n=1時顯然成立；
②假設當n=k時成立，即（a₁+a₂+…+a_k）²≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）
當n=k+1時，：（a₁+a₂+…+a_k+1）²≤（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）²=（a₁+a₂+…+a_k）²+2a_k+1（a₁+a₂+…+a_k）+a_k+1²
≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）+2a₁a _k+1+2a₂a_k+1+…+2a_ka _k+1+a_k+1²
≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）+a₁²+a _k+1²+a₂²+a_k+1²+…+a_k²+a _k+1²+a_k+1²
≤（k+1）（a₁²+a₂²+…+a_k²），
即當n=k+1時也成立，
∴n個正數的關系式：

a 1+a 2+…+a n

n

≤

a 12+a 22+…+a n 2 n

成立．

點評：本小題是一道類比推理問題，主要考查創新思維能力．事實上，不等式中的不少定理、結論都可以類比推廣到n個正數中去，值得我們進一步去探索和研究．類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．