Question

已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為坐標原點，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于表中：
 
（1）求的標準方程；
（2）請問是否存在直線同時滿足條件：(ⅰ)過的焦點；(ⅱ)與交于不同兩點、，且滿足.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）方程為         
（Ⅱ）存在直線滿足條件，且的方程為：或

(1)設拋物線，則有，據此驗證個點知.在拋物線上，易求,再設：，把點（2，0）（，）代入得可建立關于a,b的兩個方程，求出a,b值，從而得到橢圓方程.
（II）由題意可知此直線斜率一定存在，從而可設直線l的方程為,再與橢圓C₁的方程聯立消y后得關于x的一元二次方程，，即，得，然后根據韋達定理可得到關于k的方程，求出k值，從而得到直線l的方程.