Question

【題目】過橢圓的右焦點作軸的垂線，與橢圓在第一象限內交于點，過作直線的垂線，垂足為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設為圓上任意一點，過點作橢圓的兩條切線，設分別交圓于點，證明：為圓的直徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意，即可求出和的值，求得橢圓方程.

（2）設過點P的切線方程為，代入橢圓方程，由判別式為0，求得，再由韋達定理知：，即；再討論斜率不存在的情況即可.

詳解：（1）由題知，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）設，當切線的斜率均存在時，分別設為，

設過點的切線方程為，

與的方程聯立得，

則，

即，整理得，

∴，即，

當或的斜率不存在時，必是或，又，∴，此時一條切線與軸垂直，一條切線與軸平行，仍有即，

綜上，對任意點為圓的直徑．