【題目】已知函數
有兩個極值點
(
為自然對數的底數).
(Ⅰ)求實數
的取值范圍；
(Ⅱ)求證：
.
【答案】(1)
;(2)見解析.
【解析】分析：(Ⅰ) 函數
有兩個極值點，只需
有兩個根，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理與函數圖象可得當
時，沒有極值點；當
時，當時，有兩個極值點；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
為
的兩個實數根，
，
在
上單調遞減，問題轉化為，要證
，只需證
，即證
，利用導數可得
，從而可得結論.
詳解： (Ⅰ)∵，∴
.
設
，則
.
令
，解得
.
∴當
時，
；當
時，
.
∴
.
當時，
，∴函數
單調遞增，沒有極值點；
當時，
，且當
時，
；當
時，.
∴當時，
有兩個零點.
不妨設
，則.
∴當函數有兩個極值點時，
的取值范圍為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個實數根，，在上單調遞減.
下面先證
，只需證
.
∵
，得
，∴
.
設
，
，
則
，∴
在
上單調遞減，
∴
，∴
，∴.
∵函數在
上也單調遞減，∴
.
∴要證，只需證，即證.
設函數
，則
.
設
，則
，
∴
在上單調遞增，∴
，即
.
∴
在上單調遞增，∴
.
∴當時，
，則，
∴，∴.
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，
，
為其左、右頂點，
為橢圓上除，外任意一點，若記直線
，
斜率分別為
，
.
（1）求證：
為定值；
（2）若橢圓的長軸長為4，過點
作兩條互相垂直的直線
，
，若
恰好為與橢圓相交的弦的中點，求與橢圓相交的弦的中點的橫坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：x2+y2+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．
（1）若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
（2）若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區域（含邊界）上．
（1）若 
，求| 
|；
（2）設 =m 
+n 
（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過橢圓
的右焦點
作
軸的垂線，與橢圓
在第一象限內交于點
，過作直線
的垂線，垂足為
，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設
為圓
上任意一點，過點作橢圓的兩條切線
，設分別交圓
于點
，證明：
為圓的直徑．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）= 
﹣k（ 
+lnx）（k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數）．
（1）當k≤0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求k的取值范圍．
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