Question

【題目】乒乓球臺面被網分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區域C，D，某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球，規定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點在A上的來球，小明回球的落點在C上的概率為 ，在D上的概率為 ；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為 ，在D上的概率為 ．假設共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響，求：

（1）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；
（2）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：小明回球前落點在A上，回球落點在乙上的概率為 + = ，

回球前落點在B上，回球落點在乙上的概率為 + = ，

故小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率P= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = + = ．

（2）解：ξ的可能取值為0，1，2，3，4，6

其中P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ；

P（ξ=1）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；

P（ξ=2）= × = ；

P（ξ=3）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；

P（ξ=4）= × + × = ；

P（ξ=6）= × = ；

故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	6
P

故ξ的數學期望為E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× +6× = ．

【解析】（1）分別求出回球前落點在A上和B上時，回球落點在乙上的概率，進而根據分類分布原理，可得小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；（2）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六種情況，求出隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式可得其數學期望Eξ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．