Question

【題目】已知I為△ABC的內心，cosA= ，若 =x +y ，則x+y的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設圓I與△ABC三邊的切點為D、E、F，則cos∠BAC=2cos2∠DAI﹣1= ，∴cos∠DAI= ，

設圓I的半徑為1，則AD=AE= ，AI=4，

設BD=BF=m，CF=CE=n，

由余弦定理得cos∠BAC= = ，

整理可得：mn= +1≤（ ）2．

∴m+n≥ ．

∵I為△ABC的內心，

∴（m+n） +（n+ ） +（m+ ） = ，

∴（m+n） +（n+ ）（ ）+（m+ ）（ + ）= ，

∴ = + ，

∴x+y= = + ≤ + = ．

所以答案是：D．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面向量的基本定理及其意義的相關知識，掌握如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．