Question

【題目】已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形, ,點為棱的中點,點在棱上運動.

（1）求證 ；

（2）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；

（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點.

【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數量積運算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標，進而求出||，即得答案.

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），

C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），

＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），

因為＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，

所以⊥，即A1C⊥AE；

（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），

設＝（x，y，z）為平面EA1D的一個法向量，

則 即 ，取＝（2，m，﹣2m），

＝（2，0，﹣1），設＝（x，y，z）為平面A1DB的一個法向量，

則，即，取＝（1，﹣1，2），

由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為 ，得 ||＝，解得m＝1，

平面A1DB的一個法向量＝（1，﹣1，2），根據點E到面的距離為：.

（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個法向量，

設F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，

所以＝（﹣1，1，﹣2），＝ ＝，

故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．存在F點為AC中點.