Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求直線DQ與面PQC成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

根據題意得以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA，DP,DC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz；（1）根據坐標系，求出的坐標，由向量積的運算易得=0， =0；進而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（2）先求平面的PQC的法向量，再求出cos＜，＞，直線DQ與面PQC成角的正弦值等于cos＜，＞即可.

如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA，DP,DC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz；

（1）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），D(0,0,0)；

則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），

所以=0，=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；

（2）依題意，=（1，﹣1，0），

設=（x，y，z）是平面的PQC法向量，

則 即 ，可取=（1，1，2）；

=（1，1，0），所以cos＜，＞=

設直線DQ與面PQC所成的角為 ，

sin =cos＜，＞=.