Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式①ab≤1；  ②

a

+

b

≤

2

；  ③a²+b²≥2；  ④a³+b³≥3；  ⑤

1

a

+

1

b

≥2，對一切滿足條件的a，b恒成立的所有正確命題是（　　）

A．①②③

B．①③⑤

C．①②④

D．③④⑤

Answer 1

分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式分別進(jìn)行證明即可．

解答：解：①∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴2=a+b≥2

ab

，解得ab≤1，∴①正確．
②∵（

a

+

b

）²=a+b+2

ab

=2+2

ab

≤2+2=4，∴

a

+

b

≤2，∴②錯誤．
③∵a²+b²≥2ab，而ab≤1，∴a²+b²≥2成立，∴③正確．
④當(dāng)a=b=1時，滿足a＞0，b＞0，a+b=2，但a³+b³=2，∴④錯誤．
⑤∵a＞0，b＞0，a+b=2，且ab≤1，∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

≥2，故⑤正確．
故正確的是①③⑤．
故選：B．

點評：本題主要考查不等式的性質(zhì)以及不等式的應(yīng)用，要求熟練掌握不等式的性質(zhì)．