Question

如果一個幾何體的主視圖與左視圖都是全等的長方形，邊長分別是4cm與2cm如圖所示，俯視圖是一個邊長為4cm的正方形．
（1）求該幾何體的全面積．
（2）求該幾何體的外接球的體積．

Answer 1

分析：三視圖復原的幾何體是底面是正方形的正四棱柱，根據三視圖的數據，求出幾何體的表面積，求出對角線的長，就是外接球的直徑，然后求它的體積即可．

解答：解：（1）由題意可知，該幾何體是長方體，
底面是正方形，邊長是4，高是2，因此該
幾何體的全面積是：
2×4×4+4×4×2=64cm²
幾何體的全面積是64cm²．（6分）
（2）由長方體與球的性質可得，長方體的對角線是球的直徑，
記長方體的對角線為d，球的半徑是r，
d=

16+16+4

=

36

=6所以球的半徑r=3
因此球的體積v=

4

3

πr3=

4

3

×27π=36πcm3，
所以外接球的體積是36πcm³．（12分）

點評：本題是基礎題，考查幾何體的三視圖，幾何體的表面積的求法，準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．注意正四棱柱的外接球的直徑就是它的對角線的長．