Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，左焦點為F（﹣1，0），過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）在y軸上，是否存在定點E，使 恒為定值？若存在，求出E點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，∴a2=2，b2=1，

∴橢圓C的標準方程：

（2）依題意過點D（0，2）且斜率為k的直線l的方程為：y=kx+2

由 得（1+2k2）x2+8kx+6=0

設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=﹣ ，x1x2= ；

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣ ．

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= ．

設存在點E（0，m），則 ．

所以 =

=

要使 =t（t為常數），

只要 =t，從而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0

即2m2﹣2﹣2t=0且m2﹣4m+10﹣t=0由（1）得 t=m2﹣1，

代入（2）解得m= ，從而t= ，

故存在定點 E（0， ），使 恒為定值 ．

【解析】本題抓住1.“離心率為 2 2 ，左焦點為F（﹣1，0）”即可解出圓錐曲線的方程式；2.“過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點”把直接方程表示出來結合圓錐曲線的方程式聯立解出，最后根據題目要求把 和的坐標表示出來。根據關系解出答案。