Question

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，，求BC和BF的長．

Answer 1

（1）見解析；（2）BC=2，BF=

1）由已知條件可判定直線BF與⊙O相切
（2）在Rt△ANB中，利用邊角關系求出BE的長，進而求出BC所以△AGC∽△FBA，利用對應邊的比值相等求出PC，在利用勾股定理求出AE，則可求出．
證明：（1）證明：連結AE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∴∠1=∠2=90°．
∵AB=AC
∴∠1=∠CAB．
∴∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°．
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線．
（2）解：過點C作CG⊥AB于點G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB·sin∠1=
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
在Rt△ABE中，由勾股定理AE==2
∴sin∠2=，cos∠2=．
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3．
∵GC∥BF
∴△AGC∽△ABF．

∴BF=