Question

已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1，一次函數g（x）=2mx+（1-m²）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若F(x)=

g(x)

f(x)

，求函數F（x）的單調區間與極值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數的解析式．
（2）利用導數研究何時能的單調區間和極值，要對參數m進行討論．

解答：解：由二次函數f（x）滿足f（0）=1，不妨設二次函數f（x）=ax²+bx+1，a≠0，
因為f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+1，所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x+1，解得a=1，b=0．
所以f（x）=x²+1
（2）因為F(x)=

g(x)

f(x)

=

2mx+(1-m2)

x2+1

，所以F′(x)=

-2(x-m)(mx+1)

(x2+1)

．因為g（x）=2mx+（1-m²）是一次函數，
所以m≠0．
①若m＞0，則F'（x）=0，解得x1=-

1

m

，x2=m，當x變化時F'（x）與F'（x）的變化如下表：
 

x	(-∞，- 1 m )	- 1 m	（- 1 m ，m）	m	（m，+∞）
F'（x）	-		+		-
F'（x）	遞減	極小值-m2	遞增	極大值1	遞減

所以此時函數的單調增區間為（-

1

m

，m），單調減區間為 (-∞，-

1

m

)和（m，+∞）．
當x=-

1

m

時取得極小值為-m²，當x=m時取得極大值1．
②若m＜0，則F'（x）=0，解得x1=-

1

m

，x2=m，當x變化時F'（x）與F'（x）的變化如下表：
 

x	（-∞，m）	m	（m，- 1 m ）	- 1 m	（- 1 m ，+∞）
F'（x）	+		-		+
F'（x）	遞增	極大值1	遞減	極小值-m2	遞增

所以此時函數的單調增區間為（-∞，m）和（-

1

m

，+∞），單調減區間為（m，-

1

m

），．
當x=-

1

m

時取得極小值為-m²，當x=m時取得極大值1．

點評：本題綜合考查了二次函數的解析式和性質，以及利用導數研究函數的單調性與極值，綜合性較強，運算量較多．