Question

設(shè):的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),焦點(diǎn)為;橢圓以為焦點(diǎn),離心率.設(shè)是的一個(gè)交點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí),求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點(diǎn),與交于兩點(diǎn),且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實(shí)數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).

Answer 1

(1)的方程為.(2)的方程為或.（3）

解析試題分析：(1)已知焦點(diǎn)，即可得橢圓的故半焦距為,又已知離心率為，故可求得半長軸長為2,從而知橢圓的方程為.(2)由(1)可知的周長，即等于6. 設(shè)的方程為代入，然后利用弦長公式得一含的方程，解這個(gè)方程即得的值，從而求得直線的方程.(3)由得.根據(jù)題設(shè)，將的三邊用表示出來，再根據(jù)的邊長是連續(xù)正整數(shù)，即可求得的值.
試題解析：(1)由條件,是橢圓的兩焦點(diǎn),故半焦距為,再由離心率為知半長軸長為2,從而的方程為,其右準(zhǔn)線方程為.
(2)由(1)可知的周長.又:而.
若垂直于軸,易得,矛盾,故不垂直于軸,可設(shè)其方程為,與方程聯(lián)立可得,從而
,
令可解出,故的方程為或.
(3)由得.設(shè)，由于點(diǎn)P在橢圓上，所以；由點(diǎn)P在拋物線上知，，所以，，所以，.又.由此可得，若的邊長是連續(xù)正整數(shù),則，解之得，其對應(yīng)的三邊為5，6，7.
考點(diǎn)：1、橢圓與拋物線的方程；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系.