Question

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；
（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）參考解析；（2）①；②參考解析

解析試題分析：（1）由于c的大小沒(méi)確定，所以點(diǎn)A的軌跡，根據(jù)c的大小有三種情況.
（2）①由可得點(diǎn)A的軌跡方程為橢圓，求的面積的最大值即求出點(diǎn)A到直線距離的最大值.即點(diǎn)A在橢圓的上頂點(diǎn)上即可.本小題通過(guò)建立三角函數(shù)同樣可以求得三角形面積最大時(shí)的情況.
②當(dāng)時(shí)，顯然存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)直線AC不垂直于時(shí)，不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.通過(guò)假設(shè)存在，利用點(diǎn)差法即可得到，.由于H,M分別是兩條弦的中點(diǎn)，并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析：（1）當(dāng)即時(shí)，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓3分
當(dāng)時(shí)，軌跡是線段4分
當(dāng)時(shí)，軌跡不存在5分
（2）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
可得軌跡的方程為7分
①解法1：設(shè)表示點(diǎn)到線段的距離
，8分
要使的面積有最大值，只要有最大值
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，
的最大值為10分
解法2：在橢圓中，設(shè)，記
點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
從而

得8分
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)最大時(shí)，最大
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，
最大值為10分
②結(jié)論：當(dāng)時(shí)，顯然存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)