Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}滿足a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}滿足bn=

an

an+1

+

an+1

an

，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）設cn=2n(

an+1

n

-λ)，若數列{c_n}是單調遞減數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得數列{a_n}的首項與公差，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）結合（Ⅰ）a_n=n+1，可求得b_n=2+

1

n+1

-

1

n+2

，累加即可求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）依題意，應有c_n+1-c_n=2ⁿ（

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ）＜0對n∈N^*都成立?

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ＜0恒成立?λ＞(

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

)max，設f（n）=

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

，可求得f（n+1）-f（n）=

2(2-n)

n(n+1)(n+2)

，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，從而可求f（n）_max，問題得到解決．

解答：解：（Ⅰ）由題知

a

2 3

=a₁a₇，設等差數列{a_n}的公差為d，
則(a1+2d)2=a₁（a₁+6d），
a₁d=2d²，∵d≠0
∴a₁=2d．                                                  …（1分）
又∵a₂=3，
∴a₁+d=3，
∴a₁=2，d=1…（2分）
∴a_n=n+1．                                                 …（3分）
（Ⅱ）∵b_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

．            …（4分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+

1

2

-

1

3

）+（2+

1

3

-

1

4

）+…+（2+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

n

2(n+2)

．                          …（6分）
（ III）c_n=2ⁿ（

an+1

n

-λ）=2ⁿ（

n+2

n

-λ），使數列{c_n}是單調遞減數列，
則c_n+1-c_n=2ⁿ（

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ）＜0對n∈N^*都成立    …（7分）
即

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ＜0⇒λ＞(

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

)max…（8分）
設f（n）=

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

，
f（n+1）-f（n）=

2(n+4)

n+2

-

n+3

n+1

-

2(n+3)

n+1

+

n+2

n

=

2(n+4)

n+2

+

n+2

n

-

3(n+3)

n+1

=2+

4

n+2

+1+

2

n

-3-

6

n+1

=

2(2-n)

n(n+1)(n+2)

…（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
當n=2或n=3時，f（n）_max=

4

3

，
∴(

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

)max=

4

3

所以λ＞

4

3

．               …（10分）

點評：本題考查數列的遞推，考查數列的求和，突出考查累加法求和，考查構造函數思想與等價轉化思想的綜合應用，考查函數的單調性與推理分析的能力，屬于難題．