Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，已知，數列{b_n}滿足且b₂=4，b₅=32．
（1）分別求出數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足，求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）設，當n為奇數時，試判斷方程T_n-P=2013是否有解，若有請求出方程的解，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列和與通項的關系，可求數列{a_n}的通項公式；確定{b_n}為等比數列，可得數列{b_n}的通項公式；
（2）分n為偶數與奇數，利用分組求和法，分別求和，可得結論；
（3）確定n≥5時，f（n）=T_n-P單調遞增，計算相應函數值，可得結論．
解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，，所以a_n=n+1（n≥2）
又n=1時，n+1=2=a₁，所以…（2分）
因為，所以{b_n}為等比數列                              …（3分）
又b₂=4，b₅=32，所以公比為2，首項為2，所以…（4分）
（2）當n為偶數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=…（6分）
當n為奇數時，n+1為偶數，
所以…（8分）
即…（9分）
（3）設…（10分）
∴…（11分）
∴當x≥5時，f（n+2）-f（n）=2ⁿ⁺¹-46＞0，此時f（n）單調遞增．
又，，…（13分）
所以原方程無解．…（14分）
點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列的單調性，考查學生分析解決問題的能力，掌握數列的求和方法是關鍵．