Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，有S_n，

a

2(a-1)

an，n（其中a≠0，a≠1）成等差數列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n（用a，n表示）；
（2）當a=

8

9

時，數列{b_n}是否存在最小項，若存在，請求出第幾項最小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n，

a

2(a-1)

an，n成等差數列得到數列{a_n}的遞推式，取n=n+1得另一遞推式，兩式作差后即可得到數列{a_n+1}是以a為公比的等比數列，求出其通項公式后可得數列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=（a_n+1）lg（a_n+1），再把a=

8

9

代入得到數列{b_n}的通項公式，作差后根據n的不同取值得到差式的不同符號，由此判斷數列{b_n}中存在最小項且第8項和第9項最小．

解答： 解：（1）由題意得

a

a-1

an=Sn+n  ①
∴

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1  ②
②-①得，

1

a-1

an+1=

a

a-1

an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a為公比的等比數列．
則an+1=(a1+1)an-1，
又

a

a-1

a1=a1+1，
∴a₁=a-1，
∴an=an-1；
（2）∵an=an-1，
由b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
∴bn=nanlga．
當a=

8

9

時，
bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，
∴bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

．
當n＜8時，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n，
∴b₁＞b₂＞…＞b₈，
當n=8時，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n，b₈=b₉，
當n＞8時，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n，
∴b₉＜b₁₀＜…，
∴存在最小項且第8項和第9項最小．

點評：本題考查了等差數列的性質，考查了等比數列的通項公式的求法，訓練了作差法比較兩個數的大小，是中檔題．