Question

觀察下題的解答過程：
已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，求

2a+1

+

2b+1

的最大值
解：∵

2a+1

•

2

≤

2a+1 2+ 2 2

2

=a+

3

2

，

2b+1

•

2

≤

2b+1 2+ 2 2

2

=b+

3

2

相加得

2a+1

•

2

+

2b+1

•

2

=

2

（

2a+1

+

2b+1

）≤a+b+3=4∴

2b+1

+

2b+1

≤2

2

，等號(hào)在a=b=

1

2

時(shí)取得，即

2a+1

+

2b+1

的最大值為2

2

請(qǐng)類比上題解法，使用綜合法證明下題：
已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求證：

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

≤

21

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：選作題,綜合法

分析：利用基本不等式，結(jié)合類比思想，再相加，即可證明結(jié)論．

解答： 解：∵

2x+1

•

7 3

≤

2x+1 2+ 7 3 2

2

=x+

5

3

，

2y+1

•

7 3

≤

2y+1 2+ 7 3 2

2

=y+

5

3

，

2z+1

•

7 3

≤

2z+1 2+ 7 3 2

2

=z+

5

3

…（7分）
相加得(

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

)•

7 3

≤x+y+z+5=7
即

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

≤7•

3

7

=

21

，等號(hào)在x=y=z=

2

3

時(shí)取得．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比思想，同時(shí)給出一個(gè)最值的求法，比較新穎．