Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）以向量

AB

方向為側視方向，側視圖是什么形狀？說明理由并畫出側視圖．
（2）求證：CN∥平面AMD；
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）根據已知中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，我們可以判斷出其側視圖的形狀，及各邊的長，進而可畫出側視圖．
（2）由已知中四邊形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，我們可以得到BC∥平面AMD且NB∥平面AMD，進而由面面平行的判定定理得到平面BNC∥平面AMD，再由線面平行的判定定理得到答案．
（3）連接AC、BD，交于O點，結合已知條件可將該幾何體分為四棱錐A-MDBN和四棱錐C-MDBN，分別求出四棱錐A-MDBN和四棱錐C-MDBN的體積，即可得到答案．

解答：解：（1）因為MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，BC=MD=NB，所以側視圖是正方形及其兩條對角線；如下科所示
 …（4分）
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD；
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故CN∥平面AMD；…（8分）
（3）連接AC、BD，交于O點，∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，∴AO⊥平面MDBN，…（10分）
因為矩形MDBN的面積S=MD×BD=

2

，
所以四棱錐A-MDBN的體積V=

1

3

S•AO=

1

3

同理四棱錐C-MDBN的體積為

1

3

，故該幾何體的體積為

2

3

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判斷，棱錐的何種，幾何體的三視圖，其中在畫三視圖的時候，要注意看不到的棱和輪廓線要畫成虛線，本題易將兩條對角線忘記畫，或都畫成實線，造成錯誤．