Question

已知函數f(x)＝ae^x，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數， e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．

(1)求常數a的值；

(2)若存在x使不等式>成立，求實數m的取值范圍；

(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x₀，我們把|f(x₀)－g(x₀)|的值稱為兩函數在x₀處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）依題意可得函數與坐標軸的交點通過求導函數即在兩坐標軸的交點的切線的斜率相等即可求出的值.

（2）不等式恒成立的問題轉化為函數的最值問題.在對函數求導求出在定義域上的單調性即可求出m的取值范圍.

（3）本小題是把不等式的問題轉化為一個新的函數的最問題. 由于.對該函數直接研究存在困難.求導后不能得到所需要的結論.所以構造新函數從而得到.再構造一個函數得到lnx+1<x.從而得到偏差要大于2的結論.本小題的解法較特殊.構造兩個函數額是解題的關鍵和突破口，同時既有創新思維.

試題解析：（1）f(x)與坐標軸的交點為(0,). . g(x)與坐標軸的交點為(,0). .所以.所以.又因為>0.所以.

（2）因為可化為.令.則.因為x>0.所以..所以.故.所以在上是減函數.因此.所以實數m的取值范圍是.

（3）y=f(x)與y=g(x)的公共定義域為..令.則>0.所以h(x)在上是增函數.故h(x)>h(0)=0.即…①.令.則.當x>1.時. .當0<x<1時. .所以m(x)有最大值m(1)=0.因此lnx+1<x…②.由①②得.即.所以函數y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.

考點：1.導數的幾何意義.2.不等式轉化為恒成立問題.3.函數的構造.