Question

設直線與橢圓相切。 （I）試將用表示出來；  （Ⅱ）若經過動點可以向橢圓引兩條互相垂直的切線，為坐標原點，求證：為定值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

（I）將代入得，整理得

   

    由得，故

   （Ⅱ）當兩條切線的斜率都存在而且不等于時，設其中一條的斜率為k，

    則另外一條的斜率為  于是由上述結論可知橢圓斜率為k的切線方程為

        ①  又橢圓斜率為的切線方程為

        ②   由①得

    由②得    兩式相加得

    于是，所求P點坐標滿足

    因此， 當一條切線的斜率不存在時，另一條切線的斜率必為0，此時顯然也有  所以為定值。