Question

（本小題滿分12分）

   已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，并且和圓相切.

  （1）求橢圓的方程；

  （2）設(shè)直線 與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段, 為鄰邊作平行四邊行,其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線方程的求解以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。體現(xiàn)了運(yùn)用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)思想

（1）由題意的幾何性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離得到a,b,c的關(guān)系式，從而得到橢圓方程的求解。

（2）因?yàn)樵O(shè)直線 與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段, 為鄰邊作平行四邊行，那么聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理和兩點(diǎn)距離公式得到OP的范圍。

解答：（1）由得，所以……………………1分

         所以，有，解得………..5分

    所以，所以橢圓方程為  …………………………….6分

（2），   消去得：

   設(shè)

   則， ，

故點(diǎn)…………………………………………………9分

點(diǎn)在橢圓上，有，整理得

         所以，

 而  ，………….11分

因?yàn)?，所以，所以 ，

       所以…………………………………………………………….12分