Question

已知二次函數f（x）滿足條件：①在x=1處導數為0；②圖象過點P（0，-3）；③在點P處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）求在點Q（2，f（2））處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，根據條件即可求函數f（x）的解析式．
（2）根據導數的幾何意義即可求在點Q（2，f（2））處的切線方程．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
則f'（x）=2ax+b，
∵：①在x=1處導數為0；②圖象過點P（0，-3）；③在點P處的切線與直線2x+y=0平行．
∴滿足條件

f′(1)=0 f(0)=-3 f′(0)=-2

，
 即

2a+b=0 c=-3 b=-2

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴f（x）=x²-2x-3．
（2）由（1）知f（x）=x²-2x-3，f'（x）=2x-2，
∴切點Q（2，-3），在Q點處切線斜率k=f'（2）=2，
因此切線方程為y+3=2（x-2），
即2x-y-7=0．

點評：本題主要考查導數的基本運算，以及導數的幾何意義的應用，考查學生的計算能力．