Question

【題目】已知曲線f（x）= ax3﹣blnx在x=1處的切線方程為y=﹣2x+
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：x＞0時， ＜ （e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ax2﹣ ， 故f（1）= a，f′（1）=a﹣b，
故切線方程是：y=（a﹣b）（x﹣1）+ a=（a﹣b）x﹣ a+b，
而y=﹣2x+ ，故a﹣b=﹣2，﹣ a+b= ，
解得：a=2，b=4，
故f（x）= x3﹣4lnx，（x＞0），
f′（x）=2x2﹣ = （x＞0），
當x∈（0，3 ）時，f′（x）＜0；當x∈（3 ，+∞）時，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，3 ）上為減函數，在x（3 ，+∞）上為增函數，
∴f（x）的極小值為f（3 ）= ﹣4ln = （1﹣ln2），無極大值；
（Ⅱ）證明：f（x）= x3﹣4lnx，
要證 ＜ ，即證 ﹣ ＜xlnx．
令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），
則g′（x）=lnx+1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜ ；由g′（x）＞0，得x＞ ，
∴當x= 時取得最小值，最小值為g（ ）=﹣ ，
由h（x）= ﹣ ，可得h′（x）= ，
∴當x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
當x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）單調遞減．
函數h（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，
又h（1）=﹣ ，∴h（x）＜﹣ ，
∴任意x∈（0，+∞）， ＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，求得函數在點（1，f（1））處的切線l的方程，求得a，b值，進一步求出原函數的極小值點，得到f（x）的極小值；（Ⅱ）把f（x）的解析式代入 ＜ ，轉化為證 ﹣ ＜xlnx，分別構造函數g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），h（x）= ﹣ （0，+∞），然后利用導數分別求出它們的最值得到要證明的結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．