Question

【題目】云南省2016年高中數學學業水平考試的原始成績采用百分制，發布成績使用等級制，各登記劃分標準為：85分及以上，記為A等，分數在[70，85）內，記為B等，分數在[60，70）內，記為C等，60分以下，記為D等，同時認定等級分別為A，B，C都為合格，等級為D為不合格． 已知甲、乙兩所學校學生的原始成績均分布在[50，100]內，為了比較兩校學生的成績，分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別作出甲校如圖1所示樣本頻率分布直方圖，乙校如圖2所示樣本中等級為C、D的所有數據莖葉圖．

（1）求圖中x的值，并根據樣本數據比較甲乙兩校的合格率；
（2）在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用X表示所抽取的3名學生中甲校的學生人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．

甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，

乙校的合格率P2= =96%．

可得：甲乙兩校的合格率相同，都為96%．

（2）解：甲乙兩校的C等級的學生數分別為：0.012×10×50=6，4人．

X=0，1，2，3．

則P（X=k）= ，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ．

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

E（X）=0+1× +2× +3× = ．

【解析】（1）利用頻率分布直方圖的性質可得x，進而定點甲校的合格率．由莖葉圖可得乙校的合格率．（2）甲乙兩校的C等級的學生數分別為：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）= ，即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解莖葉圖(莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少)，還要掌握離散型隨機變量及其分布列(在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列)的相關知識才是答題的關鍵．