Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+2b
（1）若a，b都是從0，1，2，3四個數中任意取的一個數，求函數f（x）有零點的概率；
（2）若a，b都是從區間[0，3]中任取的一個數，求f（1）＜0成立時的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知本題是一個古典概型，

試驗發生包含的事件a，b都從0，1，2，3四個數中任取的一個數的

基本事件總數為N=4×4=16個，

函數有零點的條件為△，4a2﹣8b≥0，即a2≥2

∵事件“a2≥2b”包含：（0，0），（2，0）

（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共有7個

∴事件“a2≥2b”的概率為p=

（2）解：f（1）=1﹣2a+2b＜0，∴a﹣b＞

則a，b都是從區間[0，3]任取的一個數，有f（1）＜0，

即滿足條件：

轉化為幾何概率如圖所示，陰影部分面積為

∴事件“f（1）＜0”的概率為p= ．

【解析】（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件a，b都從0，1，2，3四個數中任取的一個數的基本事件總數為5×5個，函數有零點的條件為△=a2﹣4b≥0，即a2≥4b，列舉出所有事件的結果數，得到概率．（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件可以寫出a，b滿足的條件，滿足條件的事件也可以寫出，畫出圖形，做出兩個事件對應的圖形的面積，得到比值
【考點精析】利用幾何概型和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．