Question

【題目】過 軸上動點 引拋物線 的兩條切線 、 ， 、 為切點，設切線 、 的斜率分別為 和 .

（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求證：直線 恒過定點，并求出此定點坐標；

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設過 與拋物線 的相切的直線的斜率是 ，
則該切線的方程為： ，由 得
，
則 都是方程 的解，故 。
（Ⅱ）法1：設 ，
故切線 的斜率是 ，方程是 又 ，
所以方程可化為 ，
切線 的斜率是 ，方程是 又 ，
所以方程可化為 ，
又由于 點在AP上，則 ，
又由于 點在AQ上，則 ，
，
則直線PQ的方程是 ，則直線PQ過定點 .
法2：設 ， 所以,
直線PQ： ，
即 ，由（1）知 ，
所以，直線PQ的方程是 ，則直線PQ過定點 .
【解析】（1）設出過A點的直線，聯立拋物線，已知直線與拋物線相切，故，再利用韋達定理可以得到結果。
（2）先設出P，Q兩點的坐標，求出PQ直線方程，即可知定點坐標。